ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 8.31 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции для каждого значения параметра а:

а) у = x² + 4x + 5a на отрезке [-1; 1];

б) у = -x² + 4x — a на отрезке [-1; 3].

а) $y = x^2 + 4x + 5a$ на отрезке $[-1; 1]$;

Абсцисса вершины параболы:

$$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -\frac{4}{2} = -2;$$

Значения функции:

$$y(-1) = (-1)^2 + 4 \cdot (-1) + 5a = 1 — 4 + 5a = 5a — 3;$$ $$y(1) = 1^2 + 4 \cdot 1 + 5a = 1 + 4 + 5a = 5a + 5;$$

Ответ: $y_{\text{наиб}} = 5a + 5$; $y_{\text{наим}} = 5a — 3$.

б) $y = -x^2 + 4x — a$ на отрезке $[-1; 3]$;

Абсцисса вершины параболы:

$$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot (-1)} = \frac{4}{2} = 2;$$

Значения функции:

$$y(-1) = (-1)^2 + 4 \cdot (-1) — a = -1 — 4 — a = -5 — a;$$ $$y(2) = -2^2 + 4 \cdot 2 — a = -4 + 8 — a = 4 — a;$$ $$y(3) = -3^2 + 4 \cdot 3 — a = -9 + 12 — a = 3 — a;$$

Ответ: $y_{\text{наиб}} = 4 — a$; $y_{\text{наим}} = -5 — a$.

а) $y = x^2 + 4x + 5a$ на отрезке $[-1; 1]$

1) Абсцисса вершины параболы

Уравнение функции $y = x^2 + 4x + 5a$ представляет собой квадратичную функцию. Для нахождения абсциссы вершины параболы используем формулу для абсциссы вершины параболы, когда функция задана в виде $y = ax^2 + bx + c$:

$$x_0 = -\frac{b}{2a}$$

Здесь $a = 1$ и $b = 4$, поэтому:

$$x_0 = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -\frac{4}{2} = -2$$

Однако важно отметить, что абсцисса вершины параболы $x_0 = -2$ не лежит на рассматриваемом отрезке $[-1; 1]$. Мы можем это легко увидеть, так как точка $-2$ лежит вне отрезка. Это означает, что вершина параболы в пределах отрезка не находится, и наибольшее или наименьшее значение функции будет достигаться либо на одной из границ отрезка, либо на его концах.

2) Значения функции в границах отрезка

Теперь, чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке $[-1; 1]$, вычислим значения функции в концах отрезка:

• При $x = -1$:

$$y(-1) = (-1)^2 + 4 \cdot (-1) + 5a = 1 — 4 + 5a = 5a — 3$$

Таким образом, при $x = -1$ значение функции равно $5a — 3$.

• При $x = 1$:

$$y(1) = 1^2 + 4 \cdot 1 + 5a = 1 + 4 + 5a = 5a + 5$$

Таким образом, при $x = 1$ значение функции равно $5a + 5$.

3) Ответ

Поскольку вершина параболы не лежит на отрезке $[-1; 1]$, то наибольшее и наименьшее значение функции будет достигаться в концах отрезка. Мы уже нашли значения функции в этих точках:

• Наибольшее значение функции: $y_{\text{наиб}} = 5a + 5$ при $x = 1$.
• Наименьшее значение функции: $y_{\text{наим}} = 5a — 3$ при $x = -1$.

Ответ:

$$y_{\text{наиб}} = 5a + 5; \quad y_{\text{наим}} = 5a — 3.$$

б) $y = -x^2 + 4x — a$ на отрезке $[-1; 3]$

1) Абсцисса вершины параболы

Функция $y = -x^2 + 4x — a$ также является квадратичной функцией, и для нахождения абсциссы её вершины используем ту же формулу:

$$x_0 = -\frac{b}{2a}$$

Здесь $a = -1$ и $b = 4$, поэтому:

$$x_0 = -\frac{4}{2 \cdot (-1)} = \frac{4}{2} = 2$$

Абсцисса вершины параболы находится в точке $x_0 = 2$, которая лежит на рассматриваемом отрезке $[-1; 3]$.

2) Значения функции в границах отрезка

Теперь вычислим значения функции в концах отрезка и в точке вершины $x_0 = 2$:

• При $x = -1$:

$$y(-1) = -(-1)^2 + 4 \cdot (-1) — a = -1 — 4 — a = -5 — a$$

Таким образом, при $x = -1$ значение функции равно $-5 — a$.

• При $x = 2$ (вершина параболы):

$$y(2) = -(2)^2 + 4 \cdot 2 — a = -4 + 8 — a = 4 — a$$

Таким образом, при $x = 2$ значение функции равно $4 — a$.

• При $x = 3$:

$$y(3) = -(3)^2 + 4 \cdot 3 — a = -9 + 12 — a = 3 — a$$

Таким образом, при $x = 3$ значение функции равно $3 — a$.

3) Ответ

Так как парабола имеет максимум в точке $x_0 = 2$, мы знаем, что максимальное значение функции будет достигаться в этой точке. Мы уже нашли значения функции:

• Наибольшее значение функции: $y_{\text{наиб}} = 4 — a$ при $x = 2$.
• Наименьшее значение функции будет на одной из границ отрезка. Сравним значения функции при $x = -1$ и $x = 3$:
  • При $x = -1$ значение $y = -5 — a$.
  • При $x = 3$ значение $y = 3 — a$.

Таким образом, наименьшее значение функции будет достигаться при $x = -1$, где $y = -5 — a$.

Ответ:

$$y_{\text{наиб}} = 4 — a; \quad y_{\text{наим}} = -5 — a.$$

Итоговый ответ:

а)

$$y_{\text{наиб}} = 5a + 5; \quad y_{\text{наим}} = 5a — 3.$$

б)

$$y_{\text{наиб}} = 4 — a; \quad y_{\text{наим}} = -5 — a.$$