ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 8.35 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решить уравнения, используя теорему из упражнения 8.34;

а) $\sqrt{x^{100}+49}=7-x^4$;

$f(x)=\sqrt{x^{100}+49}$;
$a=1>0$ — ветви направлены вверх;
$y_{\text{наим}}=y(0)=\sqrt{0^{100}+49}=\sqrt{49}=7$;

$g(x)=7-x^4$;
$a=-1<0$ — ветви направлены вниз;
$y_{\text{наиб}}=y(0)=7-0^4=7$;

Ответ: $x=0$.

б) $\sqrt{x^2-2x+5}=1+2x-x^2$;

$f(x)=\sqrt{x^2-2x+5}$;
$a=1>0$ — ветви направлены вверх;
$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2}{2\cdot 1}=\frac{2}{2}=1$;
$y_{\text{наим}}=y(1)=\sqrt{1^2-2\cdot 1+5}=\sqrt{1-2+5}=\sqrt{4}=2$;

$g(x)=1+2x-x^2$;
$a=-1<0$ — ветви направлены вниз;
$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2\cdot (-1)}=\frac{2}{2}=1$;
$y_{\text{наиб}}=y(1)=1+2\cdot 1-1^2=1+2-1=2$;

Ответ: $x=1$.

в) $\sqrt{x^{22}+64}=8-x^{12}-x^{14}$;

$f(x)=\sqrt{x^{22}+64}$;
$a=1>0$ — ветви направлены вверх;
$y_{\text{наим}}=y(0)=\sqrt{0^{22}+64}=\sqrt{64}=8$;

$g(x)=8-x^{12}-x^{14}$;
$a=-1<0$ — ветви направлены вниз;
$y_{\text{наиб}}=y(0)=8-0^{12}-0^{14}=8$;

Ответ: $x=0$.

г) $\sqrt{-x^2-4x-1}=x^2+4x+7$;

$f(x)=\sqrt{-x^2-4x-1}$;
$a=-1<0$ — ветви направлены вниз;
$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2\cdot (-1)}=-\frac{4}{2}=-2$;
$y_{\text{наиб}}=y(-2)=\sqrt{-(-2{)}^2-4\cdot (-2)-1}=\sqrt{-4+8-1}=\sqrt{3}$;

$g(x)=x^2+4x+7$;
$a=1>0$ — ветви направлены вверх;
$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2\cdot 1}=-\frac{4}{2}=-2$;
$y_{\text{наим}}=y(-2)=(-2{)}^2+4\cdot (-2)+7=4-8+7=3$;

Ответ: корней нет.

Для решения уравнений будем использовать теорему из упражнения 8.34, которая гласит, что если функции $y=f(x)$ и $y=g(x)$ на множестве $X$ имеют наибольшее и наименьшее значения, равные $A$, то уравнение $f(x)=g(x)$ эквивалентно системе уравнений:

$$\{\begin{array}{l}f(x)=A,\\ g(x)=A\mathrm{.}\end{array}$$

Рассмотрим поочередно каждый из случаев.

а) Уравнение: $\sqrt{x^{100}+49}=7-x^4$

1) Рассмотрение функции $f(x)=\sqrt{x^{100}+49}$:

Для начала анализируем функцию $f(x)=\sqrt{x^{100}+49}$.

• Функция $f(x)$ всегда положительна, так как выражение под корнем $x^{100}+49$ всегда больше нуля.
• Вид функции: это корень из квадратичной функции, где добавляется постоянное число $49$.
• Параметр при $x^2$ (в данном случае $1$) положительный, следовательно, ветви графика направлены вверх.
• Минимальное значение $f(x)$ достигается при $x=0$, так как при других значениях $x$ выражение $x^{100}$ будет увеличиваться.

Вычислим минимальное значение:

$$y_{\text{наим}}=f(0)=\sqrt{0^{100}+49}=\sqrt{49}=7.$$

2) Рассмотрение функции $g(x)=7-x^4$:

Теперь анализируем функцию $g(x)=7-x^4$.

• Функция $g(x)$ является степенной функцией с четной степенью, которая убывает при увеличении $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }$.
• Параметр при $x^4$ отрицательный, следовательно, ветви графика направлены вниз.
• Наибольшее значение функции $g(x)$ достигается при $x=0$, так как при других значениях $x$ выражение $x^4$ будет увеличиваться.

Вычислим наибольшее значение:

$$y_{\text{наиб}}=g(0)=7-0^4=7.$$

3) Результат:

Мы видим, что наибольшее значение $g(x)=7$ совпадает с наименьшим значением $f(x)=7$. Согласно теореме из упражнения 8.34, уравнение $\sqrt{x^{100}+49}=7-x^4$ эквивалентно системе уравнений:

$$\{\begin{array}{l}f(x)=7,\\ g(x)=7.\end{array}$$

Подставляем значения:

$f(x)=7$ означает:

$$\sqrt{x^{100}+49}=7\Rightarrow x^{100}+49=49\Rightarrow x^{100}=0\Rightarrow x=0.$$

$g(x)=7$ означает:

$$7-x^4=7\Rightarrow x^4=0\Rightarrow x=0.$$

Ответ: $x=0$.

б) Уравнение: $\sqrt{x^2-2x+5}=1+2x-x^2$

1) Рассмотрение функции $f(x)=\sqrt{x^2-2x+5}$:

Функция $f(x)=\sqrt{x^2-2x+5}$ — это корень из квадратичной функции. Рассмотрим ее:

• Это парабола, с ветвями, направленными вверх, так как коэффициент при $x^2$ положительный.
• Для нахождения минимального значения найдем вершину параболы. Вершина параболы находится по формуле $x_0=-\frac{b}{2a}$, где $a=1$ и $b=-2$. Подставим в формулу:$$x_0=-\frac{-2}{2\cdot 1}=\frac{2}{2}=1.$$
• Теперь вычислим минимальное значение функции $f(x)$ в точке $x=1$:$$y_{\text{наим}}=f(1)=\sqrt{1^2-2\cdot 1+5}=\sqrt{1-2+5}=\sqrt{4}=2.$$

2) Рассмотрение функции $g(x)=1+2x-x^2$:

Теперь анализируем функцию $g(x)=1+2x-x^2$.

• Это парабола, с ветвями, направленными вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицательный.
• Для нахождения наибольшего значения найдем вершину параболы. Вершина параболы находится по формуле $x_0=-\frac{b}{2a}$, где $a=-1$ и $b=2$. Подставим в формулу:$$x_0=-\frac{2}{2\cdot (-1)}=\frac{2}{2}=1.$$
• Теперь вычислим наибольшее значение функции $g(x)$ в точке $x=1$:$$y_{\text{наиб}}=g(1)=1+2\cdot 1-1^2=1+2-1=2.$$

3) Результат:

Наименьшее значение $f(x)=2$ совпадает с наибольшим значением $g(x)=2$. Следовательно, уравнение $\sqrt{x^2-2x+5}=1+2x-x^2$ эквивалентно системе уравнений:

$$\{\begin{array}{l}f(x)=2,\\ g(x)=2.\end{array}$$

Подставляем значения:

$f(x)=2$ означает:

$$\sqrt{x^2-2x+5}=2\Rightarrow x^2-2x+5=4\Rightarrow$$

$$x^2-2x+1=0\Rightarrow (x-1{)}^2=0\Rightarrow x=1.$$

$g(x)=2$ означает:

$$1+2x-x^2=2\Rightarrow 2x-x^2=1\Rightarrow$$

$$x^2-2x+1=0\Rightarrow (x-1{)}^2=0\Rightarrow x=1.$$

Ответ: $x=1$.

в) Уравнение: $\sqrt{x^{22}+64}=8-x^{12}-x^{14}$

1) Рассмотрение функции $f(x)=\sqrt{x^{22}+64}$:

• Это корень из степени четной функции с добавлением постоянного числа.
• Минимальное значение функции достигается при $x=0$:$$y_{\text{наим}}=f(0)=\sqrt{0^{22}+64}=\sqrt{64}=8.$$

2) Рассмотрение функции $g(x)=8-x^{12}-x^{14}$:

• Это степенная функция с четными степенями, следовательно, она убывает при увеличении $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }$.
• Наибольшее значение функции достигается при $x=0$:$$y_{\text{наиб}}=g(0)=8-0^{12}-0^{14}=8.$$

3) Результат:

Наибольшее значение $g(x)=8$ совпадает с наименьшим значением $f(x)=8$. Следовательно, уравнение $\sqrt{x^{22}+64}=8-x^{12}-x^{14}$ эквивалентно системе уравнений:

$$\{\begin{array}{l}f(x)=8,\\ g(x)=8.\end{array}$$

Подставляем значения:

$f(x)=8$ означает:

$$\sqrt{x^{22}+64}=8\Rightarrow x^{22}+64=64\Rightarrow x^{22}=0\Rightarrow x=0.$$

$g(x)=8$ означает:

$$8-x^{12}-x^{14}=8\Rightarrow x^{12}+x^{14}=0\Rightarrow x=0.$$

Ответ: $x=0$.

г) Уравнение: $\sqrt{-x^2-4x-1}=x^2+4x+7$

1) Рассмотрение функции $f(x)=\sqrt{-x^2-4x-1}$:

• Это корень из выражения с отрицательной квадратичной функцией, следовательно, функция существует только для тех значений $x$, где выражение под корнем неотрицательно.
• Минимальное значение функции достигается в точке $x=-2$:$$y_{\text{наиб}}=f(-2)=\sqrt{-(-2{)}^2-4\cdot (-2)-1}=\sqrt{-4+8-1}=\sqrt{3}\mathrm{.}$$

2) Рассмотрение функции $g(x)=x^2+4x+7$:

• Это парабола с ветвями, направленными вверх.
• Минимальное значение функции достигается в точке $x=-2$:$$y_{\text{наим}}=g(-2)=(-2{)}^2+4\cdot (-2)+7=4-8+7=3.$$

3) Результат:

Так как наибольшее значение $f(x)=\sqrt{3}$ не совпадает с наименьшим значением $g(x)=3$, решений уравнения нет.

Ответ: корней нет.