ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 8.38 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Докажите, что функция является и четной, и нечетной:

$$$y=2\sqrt{x^4-1}+\text{exception 25:}$

Доказать, что функция является и четной, и нечетной:
$y = 2\sqrt{x^4 — 1} + \sqrt[4]{1 — x^2};$

Выражение имеет смысл при:
$x^4 — 1 \geq 0;$
$(x^2 — 1)(x^2 + 1) \geq 0;$
$(x^2 — 1) \geq 0;$
$(x + 1)(x — 1) \geq 0;$
$x \leq -1 \text{ и } x \geq 1;$

Выражение имеет смысл при:
$1 — x^2 \geq 0;$
$x^2 — 1 \leq 0;$
$(x + 1)(x — 1) \leq 0;$
$-1 \leq x \leq 1;$

Область определения функции:
$D(f) = \{-1; 1\};$

Исследуем функцию на четность:
$y(-1) = 2\sqrt{(-1)^4 — 1} + \sqrt[4]{1 — (-1)^2} = 2\sqrt{0} + \sqrt[4]{0} = 0;$
$y(1) = 2\sqrt{1^4 — 1} + \sqrt[4]{1 — 1^2} = 2\sqrt{0} + \sqrt[4]{0} = 0;$
$\pm y(-1) = \pm y(1);$

Функция является и четной и нечетной, что и требовалось доказать.

Другие примеры таких функций:
$y = x — x;$
$y = 9\sqrt[6]{x^{10} — 1} — \sqrt[4]{1 — x^{22}};$
$y = \sqrt{x^2 — 2} + \sqrt{2 — x^2};$
$y = \sqrt{x^8 — 25} + \sqrt{5 — x^4};$

Общий вид таких функций:
$y = p \cdot \sqrt[2n]{x^{2m} — 1} — \sqrt[2k]{1 — x^{2t}}, \text{где } n, m, k, t \in \mathbb{N};$
$y = \sqrt[2n]{x^{2m} — c^{2k}} — \sqrt[2n]{c^{\frac{2k}{t}} — x^{\frac{2m}{t}}}, \text{где } n, m, k, t \in \mathbb{N};$

Необходимо доказать, что функция $y = 2\sqrt{x^4 — 1} + \sqrt[4]{1 — x^2}$ является и четной, и нечетной, а также определить её область определения.

Шаг 1. Область определения функции

Для того чтобы функция имела смысл, необходимо, чтобы оба выражения внутри корней были неотрицательными.

Первое выражение: $2\sqrt{x^4 — 1}$

Выражение под корнем: $x^4 — 1$.
Чтобы оно было неотрицательным, необходимо, чтобы:

$$x^4 — 1 \geq 0$$

Решим неравенство:

$$x^4 \geq 1$$

Преобразуем:

$$x^2 \geq 1$$

Так как $x^2 \geq 1$, это означает, что:

$$x \leq -1 \quad \text{или} \quad x \geq 1$$

Таким образом, для того чтобы выражение $2\sqrt{x^4 — 1}$ имело смысл, $x$ должен принадлежать множеству $(-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.

Второе выражение: $\sqrt[4]{1 — x^2}$

Выражение под четвёртым корнем: $1 — x^2$.
Чтобы оно было неотрицательным, необходимо, чтобы:

$$1 — x^2 \geq 0$$

Решим это неравенство:

$$x^2 \leq 1$$

Таким образом, $x$ должен удовлетворять условию:

$$-1 \leq x \leq 1$$

Теперь, чтобы оба выражения $2\sqrt{x^4 — 1}$ и $\sqrt[4]{1 — x^2}$ имели смысл, необходимо, чтобы $x$ одновременно удовлетворял обоим этим условиям:

$$(-\infty, -1] \cup [1, \infty) \quad \text{и} \quad [-1, 1]$$

Эти множества пересекаются в точках $x = -1$ и $x = 1$. Таким образом, область определения функции:

$$D(f) = \{-1, 1\}$$

Шаг 2. Проверка четности функции

Функция считается четной, если выполняется условие:

$$f(-x) = f(x) \quad \text{для всех} \quad x \in D(f)$$

Исследуем функцию для $x = -1$ и $x = 1$.

Подставляем $x = -1$:

$$y(-1) = 2\sqrt{(-1)^4 — 1} + \sqrt[4]{1 — (-1)^2}$$

Преобразуем:

$$y(-1) = 2\sqrt{1 — 1} + \sqrt[4]{1 — 1} = 2\sqrt{0} + \sqrt[4]{0} = 0$$

Подставляем $x = 1$:

$$y(1) = 2\sqrt{1^4 — 1} + \sqrt[4]{1 — 1^2}$$

Преобразуем:

$$y(1) = 2\sqrt{1 — 1} + \sqrt[4]{1 — 1} = 2\sqrt{0} + \sqrt[4]{0} = 0$$

Таким образом, для $x = -1$ и $x = 1$ мы получаем $y(-1) = 0$ и $y(1) = 0$, то есть $y(-1) = y(1)$. Это условие выполняется для значений $x = -1$ и $x = 1$, что означает, что функция может быть четной.

Шаг 3. Проверка нечетности функции

Функция считается нечетной, если выполняется условие:

$$f(-x) = -f(x) \quad \text{для всех} \quad x \in D(f)$$

Проверим, выполняется ли это условие.

Подставляем $x = -1$:

$$y(-1) = 2\sqrt{(-1)^4 — 1} + \sqrt[4]{1 — (-1)^2} = 2\sqrt{0} + \sqrt[4]{0} = 0$$

Подставляем $x = 1$:

$$y(1) = 2\sqrt{1^4 — 1} + \sqrt[4]{1 — 1^2} = 2\sqrt{0} + \sqrt[4]{0} = 0$$

Таким образом, $y(-1) = y(1) = 0$, и выполняется условие для нечетности:

$$f(-1) = -f(1)$$

Следовательно, функция также является нечетной.

Шаг 4. Доказательство

Поскольку функция удовлетворяет условиям и четности, и нечетности, то она одновременно является и четной, и нечетной. Мы доказали это для значений $x = -1$ и $x = 1$.

Шаг 5. Примеры других функций

Теперь, приведем несколько примеров других функций, которые могут быть одновременно четными и нечетными.

1. $y = x — x = 0$ — такая функция всегда равна нулю, и ее можно считать и четной, и нечетной, так как $0 = -0$.
2. $y = 9\sqrt[6]{x^{10} — 1} — \sqrt[4]{1 — x^{22}}$ — функция, имеющая соответствующие корни, и их значения зависят от области определения.
3. $y = \sqrt{x^2 — 2} + \sqrt{2 — x^2}$ — функция с определенной областью значений.
4. $y = \sqrt{x^8 — 25} + \sqrt{5 — x^4}$ — еще один пример функции с определенной областью.

Шаг 6. Общий вид таких функций

Общий вид таких функций можно записать как:

$$y = p \cdot \sqrt[2n]{x^{2m} — 1} — \sqrt[2k]{1 — x^{2t}}, \text{где } n, m, k, t \in \mathbb{N}$$

или

$$y = \sqrt[2n]{x^{2m} — c^{2k}} — \sqrt[2n]{c^{\frac{2k}{t}} — x^{\frac{2m}{t}}}, \text{где } n, m, k, t \in \mathbb{N}$$

Эти функции могут быть и четными, и нечетными, в зависимости от параметров, используемых в них.