ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 8.7 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) $y = (x^2 — 1)^2$;

Рассмотрим функцию:
$y = x^2 — 1;$

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot 1} = 0;$

$a = 1 > 0$ — ветви направлены вверх;

$x^2 — 1 > 0;$

$(x + 1)(x — 1) > 0;$

$x < -1 \text{ и } x > 1;$

Возрастает на $[0; +\infty)$ и убывает на $(-∞; 0]$;

Принимает положительные значения на $(-∞; -1) \cup (1; +∞)$;

Принимает отрицательные значения на $(-1; 1)$;

Ответ: возрастает на $[-1; 0] \cup [1; +∞)$ и убывает на $(-∞; -1] \cup [0; 1]$.

б) $y = (x^2 — 9)^2 + 6$;

Рассмотрим функцию:
$y = x^2 — 9;$

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot 1} = 0;$

$a = 1 > 0$ — ветви направлены вверх;

$x^2 — 9 > 0;$

$(x + 3)(x — 3) > 0;$

$x < -3 \text{ и } x > 3;$

Возрастает на $[0; +∞)$ и убывает на $(-∞; 0]$;

Принимает положительные значения на $(-∞; -3) \cup (-3; +∞)$;

Принимает отрицательные значения на $(-3; 3)$;

Ответ: возрастает на $[-3; 0] \cup [3; +∞)$ и убывает на $(-∞; -3] \cup [0; 3]$.

в) $y = (x^2 — 3x — 10)^2$;

Рассмотрим функцию:
$y = x^2 — 3x — 10;$

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-3}{2 \cdot 1} = \frac{3}{2} = 1,5;$

$a = 1 > 0$ — ветви направлены вверх;

$x^2 — 3x — 10 > 0;$

$D = 3^2 + 4 \cdot 10 = 9 + 40 = 49$, тогда:

$x_1 = \frac{3 — 7}{2} = -2 \text{ и } x_2 = \frac{3 + 7}{2} = 5;$

$(x + 2)(x — 5) > 0;$

$x < -2 \text{ и } x > 5;$

Возрастает на $[1,5; +∞)$ и убывает на $(-∞; 1,5]$;

Принимает положительные значения на $(-∞; -2) \cup (5; +∞)$;

Принимает отрицательные значения на $(-2; 5)$;

Ответ: возрастает на $[-2; 1,5] \cup [5; +∞)$ и убывает на $(-∞; -2] \cup [1,5; 5]$.

г) $y = (x^2 — x — 20)^2 — 18$;

Рассмотрим функцию:
$y = x^2 — x — 20;$

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-1}{2 \cdot 1} = \frac{1}{2} = 0,5;$

$a = 1 > 0$ — ветви направлены вверх;

$x^2 — x — 20 > 0;$

$D = 1^2 + 4 \cdot 20 = 1 + 80 = 81$, тогда:

$x_1 = \frac{1 — 9}{2} = -4 \text{ и } x_2 = \frac{1 + 9}{2} = 5;$

$(x + 4)(x — 5) > 0;$

$x < -4 \text{ и } x > 5;$

Возрастает на $[0,5; +∞)$ и убывает на $(-∞; 0,5]$;

Принимает положительные значения на $(-∞; -4) \cup (5; +∞)$;

Принимает отрицательные значения на $(-4; 5)$;

Ответ: возрастает на $[-4; 0,5] \cup [5; +∞)$ и убывает на $(-∞; -4] \cup [0,5; 5]$.

а) $y = (x^2 — 1)^2$

1. Определим исходную функцию:

Рассматриваем функцию:

$$y = (x^2 — 1)^2$$

Для упрощения, рассмотрим промежуточную функцию:

$$f(x) = x^2 — 1$$

То есть, наша функция является квадратом функции $f(x)$.

2. Найдем критическую точку для функции $f(x)$:

Найдем вершину параболы $f(x) = x^2 — 1$, используя формулу для нахождения абсциссы вершины параболы $x_0 = -\frac{b}{2a}$, где $a$ — коэффициент при $x^2$, а $b$ — коэффициент при $x$:

$$x_0 = -\frac{0}{2 \cdot 1} = 0$$

Так как $a = 1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

3. Анализируем знак выражения $f(x)$:

Теперь анализируем знак выражения $x^2 — 1$. Для этого раскроем его на множители:

$$x^2 — 1 = (x + 1)(x — 1)$$

Рассмотрим знак произведения:

$$(x + 1)(x — 1) > 0$$

Это неравенство выполняется, если:

$$x < -1 \text{ или } x > 1$$

То есть, функция $f(x) = x^2 — 1$ положительна на интервалах $(-∞; -1)$ и $(1; +∞)$, и отрицательна на интервале $(-1; 1)$.

4. Определим интервалы монотонности для функции $y = (x^2 — 1)^2$:

Так как $y = f(x)^2$, то на интервалах, где $f(x)$ положительно, функция $y$ возрастает, а на интервалах, где $f(x)$ отрицательно, функция $y$ убывает.

• $f(x)$ возрастает на интервале $[0; +\infty)$, потому что при $x > 0$ $x^2 — 1$ возрастает.
• $f(x)$ убывает на интервале $(-∞; 0]$, потому что при $x < 0$ $x^2 — 1$ убывает.

Таким образом, на интервалах:

• $(-∞; -1) \cup (1; +∞)$ функция $y = (x^2 — 1)^2$ принимает положительные значения.
• $(-1; 1)$ функция $y = (x^2 — 1)^2$ принимает отрицательные значения.

Ответ:

• Возрастает на $[-1; 0] \cup [1; +∞)$
• Убывает на $(-∞; -1] \cup [0; 1]$

б) $y = (x^2 — 9)^2 + 6$

1. Определим исходную функцию:

Рассматриваем функцию:

$$y = (x^2 — 9)^2 + 6$$

Для упрощения, рассмотрим промежуточную функцию:

$$f(x) = x^2 — 9$$

Таким образом, наша функция представляет собой квадрат функции $f(x)$ с добавлением постоянного слагаемого 6.

2. Найдем критическую точку для функции $f(x)$:

Найдем вершину параболы $f(x) = x^2 — 9$, используя формулу для нахождения абсциссы вершины параболы $x_0 = -\frac{b}{2a}$:

$$x_0 = -\frac{0}{2 \cdot 1} = 0$$

Так как $a = 1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

3. Анализируем знак выражения $f(x)$:

Теперь рассмотрим знак выражения $x^2 — 9$, раскрыв его на множители:

$$x^2 — 9 = (x + 3)(x — 3)$$

Неравенство для этого произведения:

$$(x + 3)(x — 3) > 0$$

Выполняется, если:

$$x < -3 \text{ или } x > 3$$

Функция $f(x) = x^2 — 9$ положительна на интервалах $(-∞; -3)$ и $(3; +∞)$, и отрицательна на интервале $(-3; 3)$.

4. Определим интервалы монотонности для функции $y = (x^2 — 9)^2 + 6$:

Так как $y = f(x)^2 + 6$, функция будет возрастать на интервалах, где $f(x)$ положительна, и убывать на интервалах, где $f(x)$ отрицательна.

• $f(x)$ возрастает на интервале $[0; +∞)$, потому что при $x > 0$ $x^2 — 9$ возрастает.
• $f(x)$ убывает на интервале $(-∞; 0]$, потому что при $x < 0$ $x^2 — 9$ убывает.

Ответ:

• Возрастает на $[-3; 0] \cup [3; +∞)$
• Убывает на $(-∞; -3] \cup [0; 3]$

в) $y = (x^2 — 3x — 10)^2$

1. Определим исходную функцию:

Рассматриваем функцию:

$$y = (x^2 — 3x — 10)^2$$

Для упрощения, рассмотрим промежуточную функцию:

$$f(x) = x^2 — 3x — 10$$

2. Найдем критическую точку для функции $f(x)$:

Вершина параболы $f(x) = x^2 — 3x — 10$ находится по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$, где $a = 1$, $b = -3$:

$$x_0 = -\frac{-3}{2 \cdot 1} = \frac{3}{2} = 1,5$$

Так как $a = 1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

3. Анализируем знак выражения $f(x)$:

Рассмотрим дискриминант $D$ для квадратного уравнения $x^2 — 3x — 10 = 0$:

$$D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49$$

Корни уравнения:

$$x_1 = \frac{-(-3) — \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{3 — 7}{2} = -2$$ $$x_2 = \frac{-(-3) + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 7}{2} = 5$$

Таким образом, $f(x)$ раскладывается на множители:

$$(x + 2)(x — 5)$$

Неравенство:

$$(x + 2)(x — 5) > 0$$

Выполняется, если:

$$x < -2 \text{ или } x > 5$$

Функция $f(x)$ положительна на интервалах $(-∞; -2)$ и $(5; +∞)$, и отрицательна на интервале $(-2; 5)$.

4. Определим интервалы монотонности для функции $y = (x^2 — 3x — 10)^2$:

Так как $y = f(x)^2$, функция будет возрастать на интервалах, где $f(x)$ положительна, и убывать на интервалах, где $f(x)$ отрицательна.

• $f(x)$ возрастает на интервале $[1,5; +∞)$, потому что при $x > 1,5$ $x^2 — 3x — 10$ возрастает.
• $f(x)$ убывает на интервале $(-∞; 1,5]$, потому что при $x < 1,5$ $x^2 — 3x — 10$ убывает.

Ответ:

• Возрастает на $[-2; 1,5] \cup [5; +∞)$
• Убывает на $(-∞; -2] \cup [1,5; 5]$

г) $y = (x^2 — x — 20)^2 — 18$

1. Определим исходную функцию:

Рассматриваем функцию:

$$y = (x^2 — x — 20)^2 — 18$$

Для упрощения, рассмотрим промежуточную функцию:

$$f(x) = x^2 — x — 20$$

2. Найдем критическую точку для функции $f(x)$:

Вершина параболы $f(x) = x^2 — x — 20$ находится по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$, где $a = 1$, $b = -1$:

$$x_0 = -\frac{-1}{2 \cdot 1} = \frac{1}{2} = 0,5$$

Так как $a = 1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

3. Анализируем знак выражения $f(x)$:

Рассмотрим дискриминант $D$ для квадратного уравнения $x^2 — x — 20 = 0$:

$$D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81$$

Корни уравнения:

$$x_1 = \frac{-(-1) — \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{1 — 9}{2} = -4$$ $$x_2 = \frac{-(-1) + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 9}{2} = 5$$

Таким образом, $f(x)$ раскладывается на множители:

$$(x + 4)(x — 5)$$

Неравенство:

$$(x + 4)(x — 5) > 0$$

Выполняется, если:

$$x < -4 \text{ или } x > 5$$

Функция $f(x)$ положительна на интервалах $(-∞; -4)$ и $(5; +∞)$, и отрицательна на интервале $(-4; 5)$.

4. Определим интервалы монотонности для функции $y = (x^2 — x — 20)^2 — 18$:

Так как $y = f(x)^2 — 18$, функция будет возрастать на интервалах, где $f(x)$ положительна, и убывать на интервалах, где $f(x)$ отрицательна.

• $f(x)$ возрастает на интервале $[0,5; +∞)$, потому что при $x > 0,5$ $x^2 — x — 20$ возрастает.
• $f(x)$ убывает на интервале $(-∞; 0,5]$, потому что при $x < 0,5$ $x^2 — x — 20$ убывает.

Ответ:

• Возрастает на $[-4; 0,5] \cup [5; +∞)$
• Убывает на $(-∞; -4] \cup [0,5; 5]$