ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 8.8 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Ha рисунке изображен график функции у = f(x). Найдите промежутки монотонности функции у = (f(x)²:

а) рис. 22;

б) рис. 23;

в) рис. 24;

г) рис. 25.

На рисунке изображена функция $y = f(x)$, найти промежутки монотонности функции $y = (f(x))^2$;

а) Рисунок 14:

• Возрастает на $[-3; -1] \cup [1; 3]$ и убывает на $[-1; 1]$;
• Принимает положительные значения на $(2; 3]$;
• Принимает отрицательные значения на $[-3; 2)$;

Ответ: возрастает на $[-1; 1] \cup [2; 3]$;
убывает на $[-3; -1] \cup [1; 2]$.

б) Рисунок 15:

• Возрастает на $[-3; -2) \cup (0; 2)$ и убывает на $(-2; 0] \cup [2; 3]$;
• Принимает положительные значения на $(-2,7; -1,3)$;
• Принимает отрицательные значения на $[-3; -2,7) \cup (-1,3; 2) \cup (2; 3]$;

Ответ: возрастает на $[-2,7; -2) \cup [-1,3; 0] \cup [2; 3]$;
убывает на $[-3; -2,7] \cup (-2; -1,3] \cup [0; 2]$.

в) Рисунок 16:

• Возрастает на $[-3; -1] \cup [1; 3]$ и убывает на $[-1; 1]$;
• Принимает положительные значения на $(-2; 1)$;
• Принимает отрицательные значения на $[-3; 2) \cup (1; 3]$;

Ответ: возрастает на $[-2; -1] \cup [1; 3]$;
убывает на $[-3; -2] \cup [-1; 1]$.

г) Рисунок 17:

• Возрастает на $[-1; 1]$ и убывает на $[-3; -1] \cup [1; 3]$;
• Принимает положительные значения на $[-3; -2) \cup (0; 2)$;
• Принимает отрицательные значения на $(-2; 0) \cup (2; 3]$;

Ответ: возрастает на $[-2; -1] \cup [0; 1] \cup [2; 3]$;
убывает на $[-3; -2] \cup [-1; 0] \cup [1; 2]$.

На рисунке изображена функция $y = f(x)$, найти промежутки монотонности функции $y = (f(x))^2$.

a) Рисунок 14

1. Анализируем график функции $f(x)$:

• $f(x)$ возрастает на промежутках $[-3; -1]$ и $[1; 3]$.
• $f(x)$ убывает на промежутке $[-1; 1]$.

2. Поведение функции $y = (f(x))^2$:

Поскольку $y = (f(x))^2$, то монотонность функции $y$ будет зависеть от того, является ли $f(x)$ положительным или отрицательным.

• Для возрастающих промежутков: когда $f(x)$ возрастает, то для функции $y = (f(x))^2$ эта монотонность также будет сохранена на промежутке, но только если $f(x)$ не изменяет знак. При этом $(f(x))^2$ будет возрастать на отрезках, где $f(x)$ положителен.
• Для убывающих промежутков: аналогично, если функция $f(x)$ убывает на интервале, то $(f(x))^2$ будет возрастать, если $f(x)$ отрицателен, и убывать, если $f(x)$ положителен.

3. Применение на практике:

• $f(x)$ возрастает на интервале $[-3; -1]$, где $f(x)$ отрицательно. Следовательно, $y = (f(x))^2$ будет убывать на этом интервале, так как квадрат отрицательной функции уменьшится по мере увеличения $x$.
• $f(x)$ возрастает на интервале $[1; 3]$, где $f(x)$ положительно. Следовательно, $y = (f(x))^2$ будет возрастать на этом интервале.
• $f(x)$ убывает на интервале $[-1; 1]$, где $f(x)$ также изменяет знак, но мы видим, что $f(x)$ будет иметь значение от отрицательного к положительному. Следовательно, на интервале $[-1; 1]$ $y = (f(x))^2$ убывает.

Ответ:

• $y$ возрастает на интервалах $[-1; 1] \cup [2; 3]$.
• $y$ убывает на интервалах $[-3; -1] \cup [1; 2]$.

б) Рисунок 15

1. Анализируем график функции $f(x)$:

• $f(x)$ возрастает на промежутках $[-3; -2)$ и $(0; 2)$.
• $f(x)$ убывает на промежутках $(-2; 0]$ и $[2; 3]$.

2. Поведение функции $y = (f(x))^2$:

• На возрастающих промежутках $[-3; -2)$ и $(0; 2)$:
  • На отрезке $[-3; -2)$ $f(x)$ отрицателен, значит $(f(x))^2$ будет убывать, поскольку $f(x)$ приближается к 0.
  • На отрезке $(0; 2)$ $f(x)$ положителен, и $(f(x))^2$ будет возрастать, так как $f(x)$ возрастает.
• На убывающих промежутках $(-2; 0]$ и $[2; 3]$:
  • На интервале $(-2; 0]$ $f(x)$ меняет знак и становится отрицательным. Следовательно, $y = (f(x))^2$ будет возрастать, так как $f(x)$ убывает, а его квадрат увеличивается.
  • На интервале $[2; 3]$ $f(x)$ положителен, и $y = (f(x))^2$ будет убывать, так как $f(x)$ убывает.

3. Применение на практике:

• $f(x)$ возрастает на интервале $[-3; -2)$, где $f(x)$ отрицателен, следовательно, $y = (f(x))^2$ будет убывать.
• $f(x)$ возрастает на интервале $(0; 2)$, где $f(x)$ положителен, следовательно, $y = (f(x))^2$ будет возрастать.
• $f(x)$ убывает на интервале $(-2; 0]$, где $f(x)$ меняет знак, следовательно, $y = (f(x))^2$ будет возрастать.
• $f(x)$ убывает на интервале $[2; 3]$, где $f(x)$ положителен, следовательно, $y = (f(x))^2$ будет убывать.

Ответ:

• $y$ возрастает на интервалах $[-2,7; -2) \cup [-1,3; 0] \cup [2; 3]$.
• $y$ убывает на интервалах $[-3; -2,7] \cup (-2; -1,3] \cup [0; 2]$.

в) Рисунок 16

1. Анализируем график функции $f(x)$:

• $f(x)$ возрастает на промежутках $[-3; -1]$ и $[1; 3]$.
• $f(x)$ убывает на промежутке $[-1; 1]$.

2. Поведение функции $y = (f(x))^2$:

• Для возрастающих промежутков $[-3; -1]$ и $[1; 3]$:
  • На интервале $[-3; -1]$ $f(x)$ отрицателен, следовательно, $y = (f(x))^2$ будет убывать, так как $f(x)$ приближается к 0.
  • На интервале $[1; 3]$ $f(x)$ положителен, следовательно, $y = (f(x))^2$ будет возрастать.
• Для убывающих промежутков $[-1; 1]$:
  • На интервале $[-1; 1]$ $f(x)$ сначала возрастает, а затем убывает. Поскольку квадрат функции всегда положителен, то функция $y = (f(x))^2$ будет убывать на этом интервале.

Ответ:

• $y$ возрастает на интервалах $[-2; -1] \cup [1; 3]$.
• $y$ убывает на интервалах $[-3; -2] \cup [-1; 1]$.

г) Рисунок 17

1. Анализируем график функции $f(x)$:

• $f(x)$ возрастает на промежутках $[-1; 1]$.
• $f(x)$ убывает на промежутках $[-3; -1] \cup [1; 3]$.

2. Поведение функции $y = (f(x))^2$:

• Для возрастающих промежутков $[-1; 1]$:
  • На интервале $[-1; 1]$ $f(x)$ меняет знак, и квадратичная функция будет убывать, поскольку она всегда положительна.
• Для убывающих промежутков $[-3; -1] \cup [1; 3]$:
  • На интервале $[-3; -1]$ $f(x)$ отрицателен, следовательно, $y = (f(x))^2$ будет убывать.
  • На интервале $[1; 3]$ $f(x)$ положителен, следовательно, $y = (f(x))^2$ будет убывать.

Ответ:

• $y$ возрастает на интервалах $[-2; -1] \cup [0; 1] \cup [2; 3]$.
• $y$ убывает на интервалах $[-3; -2] \cup [-1; 0] \cup [1; 2]$.