ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 85 Повторение Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) $y=\sqrt{(x^2+7x+12{)}^{-1}}$

Выражение имеет смысл при:

$$(x^2+7x+12{)}^{-1}\ge 0;$$$$\frac{1}{x^2+7x+12}\ge 0;$$$$x^2+7x+12>0;$$$$D=7^2-4\cdot 12=49-48=1,\text{ тогда: }$$$$x_1=\frac{-7-1}{2}=-4\text{и}{x}_2=\frac{-7+1}{2}=-3;$$$$(x+4)(x+3)>0;$$$$x<-4\text{и}x>-3;$$

Ответ: $D(x)=(-\mathrm{\infty };-4)\cup (-3;+\mathrm{\infty })$.

б) $y=\sqrt{-x^2-11x-28}$

Выражение имеет смысл при:

$$-x^2-11x-28\ge 0;$$$$x^2+11x+28\le 0;$$$$D={11}^2-4\cdot 28=121-112=9,\text{ тогда: }$$$$x_1=\frac{-11-3}{2}=-7\text{и}{x}_2=\frac{-11+3}{2}=-4;$$$$(x+7)(x+4)\le 0;$$$$-7\le x\le -4;$$

Ответ: $D(x)=[-7;-4]$.

в) $y=\sqrt{x^2+6x+10}$

Выражение имеет смысл при:

$$x^2+6x+10\ge 0;$$$$D=6^2-4\cdot 10=36-40=-4<0;$$$$a=1>0\text{— верно при любом }x;$$

Ответ: $D(x)=(-\mathrm{\infty };+\mathrm{\infty })$.

г) $y=\sqrt{-x^2+2x-1}$

Выражение имеет смысл при:

$$-x^2+2x-1\ge 0;$$$$x^2-2x+1\le 0;$$$$(x-1{)}^2\le 0;$$$$x-1=0,\text{ отсюда }x=1;$$

Ответ: $D(x)=\{1\}$.

а) $y=\sqrt{(x^2+7x+12{)}^{-1}}$

Выражение имеет смысл при условии, что подкоренное выражение $(x^2+7x+12{)}^{-1}$ будет положительным или нулевым. Однако так как мы имеем обратную величину, выражение не может быть равно нулю. Разберемся по шагам:

Необходимое условие для выражения:

$$\frac{1}{x^2+7x+12}\ge 0$$

Это неравенство означает, что $x^2+7x+12$ должно быть положительным, потому что дробь будет положительной, если числитель и знаменатель будут оба положительными или оба отрицательными. Поэтому для выполнения этого условия нужно:

$$x^2+7x+12>0$$

Решение неравенства $x^2+7x+12>0$:

Сначала решим соответствующее квадратное уравнение:

$$x^2+7x+12=0$$

Рассчитаем дискриминант $D$:

$$D=7^2-4\cdot 1\cdot 12=49-48=1$$

Корни уравнения:

$$x_1=\frac{-7-\sqrt{1}}{2}=\frac{-7-1}{2}=-4$$$$x_2=\frac{-7+\sqrt{1}}{2}=\frac{-7+1}{2}=-3$$

Нахождение области определения:

Квадратное неравенство $x^2+7x+12>0$ означает, что выражение будет положительным в интервалах, где переменная $x$ находится либо меньше $-4$, либо больше $-3$. Это можно увидеть по знакам в промежутках, определенных корнями. Итак:

$$(x+4)(x+3)>0$$

Для такого неравенства положительными будут интервал $(-\mathrm{\infty };-4)$ и $(-3;+\mathrm{\infty })$.

Ответ:

$$D(x)=(-\mathrm{\infty };-4)\cup (-3;+\mathrm{\infty })$$

б) $y=\sqrt{-x^2-11x-28}$

Необходимое условие для выражения:

Выражение будет иметь смысл, если подкоренное выражение неотрицательно:

$$-x^2-11x-28\ge 0$$

Перепишем это неравенство:

$$x^2+11x+28\le 0$$

Решение неравенства $x^2+11x+28\le 0$:

Рассчитаем дискриминант $D$ для квадратного уравнения $x^2+11x+28=0$:

$$D={11}^2-4\cdot 1\cdot 28=121-112=9$$

Корни уравнения:

$$x_1=\frac{-11-\sqrt{9}}{2}=\frac{-11-3}{2}=-7$$$$x_2=\frac{-11+\sqrt{9}}{2}=\frac{-11+3}{2}=-4$$

Нахождение области определения:

Квадратное неравенство $x^2+11x+28\le 0$ означает, что выражение будет отрицательным или нулевым на интервале от $-7$ до $-4$, включительно. Это можно видеть из знаков в промежутках, определённых корнями. Итак:

$$(x+7)(x+4)\le 0$$

Ответ:

$$D(x)=[-7;-4]$$

в) $y=\sqrt{x^2+6x+10}$

Необходимое условие для выражения:

Для того чтобы выражение имело смысл, подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$$x^2+6x+10\ge 0$$

Решение неравенства $x^2+6x+10\ge 0$:

Рассчитаем дискриминант $D$ для уравнения $x^2+6x+10=0$:

$$D=6^2-4\cdot 1\cdot 10=36-40=-4$$

Поскольку дискриминант отрицателен, у этого уравнения нет действительных корней. Это означает, что парабола $x^2+6x+10$ не пересекает ось $x$ и всегда положительна (так как старший коэффициент при $x^2$ положительный).

Нахождение области определения:

Так как выражение всегда больше нуля, то область определения функции:

$$D(x)=(-\mathrm{\infty };+\mathrm{\infty })$$

г) $y=\sqrt{-x^2+2x-1}$

Необходимое условие для выражения:

Для того чтобы выражение имело смысл, подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$$-x^2+2x-1\ge 0$$

Перепишем неравенство:

$$x^2-2x+1\le 0$$

Решение неравенства $x^2-2x+1\le 0$:

Это неравенство можно переписать как:

$$(x-1{)}^2\le 0$$

Квадрат любого числа всегда неотрицателен, а выражение $(x-1{)}^2\le 0$ имеет решение только в точке $x=1$.

Нахождение области определения:

Таким образом, область определения функции состоит только из точки $x=1$:

$$D(x)=\{1\}$$

Итоговые ответы:

1. $y=\sqrt{(x^2+7x+12{)}^{-1}}$, область определения: $D(x)=(-\mathrm{\infty };-4)\cup (-3;+\mathrm{\infty })$
2. $y=\sqrt{-x^2-11x-28}$, область определения: $D(x)=[-7;-4]$
3. $y=\sqrt{x^2+6x+10}$, область определения: $D(x)=(-\mathrm{\infty };+\mathrm{\infty })$
4. $y=\sqrt{-x^2+2x-1}$, область определения: $D(x)=\{1\}$