ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 87 Повторение Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) $y=\frac{\sqrt{25-x^2}}{x+2}$;

Выражение имеет смысл при:

$$25-x^2\ge 0;$$$$x^2-25\le 0;$$$$(x+5)(x-5)\le 0;$$$$-5\le x\le 5;$$

Выражение имеет смысл при:

$$x+2\mathrm{\ne }0;$$$$x\mathrm{\ne }-2;$$

Ответ: $D(x)=[-5;-2)\cup (-2;5]$.

б) $y=\frac{\sqrt{x+3}}{x^2-16}$;

Выражение имеет смысл при:

$$x+3\ge 0;$$$$x\ge -3;$$

Выражение имеет смысл при:

$$x^2-16\mathrm{\ne }0;$$$$x^2\mathrm{\ne }16;$$$$x\mathrm{\ne }\pm 4;$$

Ответ: $D(x)=[-3;4)\cup (4;+\mathrm{\infty })$.

Задача (а)

Дано выражение:

$$y=\frac{\sqrt{25-x^2}}{x+2}\mathrm{.}$$

Условия для области допустимых значений:

Корень в числителе $\sqrt{25-x^2}$:

Для того чтобы корень был определён, выражение под ним должно быть неотрицательным:

$$25-x^2\ge 0.$$

Перепишем это неравенство:

$$x^2\le 25.$$

Это означает, что $x$ должно принадлежать интервалу от $-5$ до $5$ включительно:

$$-5\le x\le 5.$$

Это условие накладывает ограничение на $x$, что $x$ должен быть в пределах от $-5$ до $5$.

Знаменатель $x+2$:

В знаменателе стоит выражение $x+2$, которое не может быть равно нулю, так как деление на ноль невозможно. Поэтому:

$$x+2\mathrm{\ne }0,$$

что даёт:

$$x\mathrm{\ne }-2.$$

Это условие накладывает дополнительное ограничение, что $x$ не может быть равным $-2$.

Объединение условий:

Теперь нужно объединить два полученных условия:

• $-5\le x\le 5$, что означает, что $x$ может быть любым числом от $-5$ до $5$ включительно.
• $x\mathrm{\ne }-2$, то есть $x$ не может быть равным $-2$.

Следовательно, объединяя эти два условия, получаем, что область допустимых значений для выражения $y=\frac{\sqrt{25-x^2}}{x+2}$ — это промежуток от $-5$ до $5$, исключая точку $x=-2$. То есть:

$$D(x)=[-5;-2)\cup (-2;5]\mathrm{.}$$

Задача (б)

Дано выражение:

$$y=\frac{\sqrt{x+3}}{x^2-16}\mathrm{.}$$

Условия для области допустимых значений:

Корень в числителе $\sqrt{x+3}$:

Для того чтобы корень был определён, выражение под ним должно быть неотрицательным:

$$x+3\ge 0,$$

что даёт:

$$x\ge -3.$$

Это означает, что $x$ должно быть больше или равно $-3$.

Знаменатель $x^2-16$:

Знаменатель не может быть равен нулю, так как деление на ноль невозможно. Следовательно, мы должны исключить те значения $x$, при которых знаменатель становится равным нулю:

$$x^2-16\mathrm{\ne }0.$$

Это можно переписать как:

$$x^2\mathrm{\ne }16.$$

Корни этого уравнения:

$$x\mathrm{\ne }\pm 4.$$

То есть, $x$ не может быть равным $4$ и $-4$.

Объединение условий:

Теперь объединим все условия:

• $x\ge -3$, что означает, что $x$ должно быть больше или равно $-3$.
• $x\mathrm{\ne }\pm 4$, то есть $x$ не может быть равным $-4$ или $4$.

Следовательно, область допустимых значений для выражения $y=\frac{\sqrt{x+3}}{x^2-16}$ будет:

$$D(x)=[-3;4)\cup (4;+\mathrm{\infty })\mathrm{.}$$

Итоговое решение:

1. Для выражения $y=\frac{\sqrt{25-x^2}}{x+2}$ область допустимых значений:$$D(x)=[-5;-2)\cup (-2;5]\mathrm{.}$$
2. Для выражения $y=\frac{\sqrt{x+3}}{x^2-16}$ область допустимых значений:$$D(x)=[-3;4)\cup (4;+\mathrm{\infty })\mathrm{.}$$