ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 9.37 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Дана функция:

$$y = f(x) \text{ с периодом } T = 8;$$ $$f(x) = \begin{cases} -x, & \text{если } -1 \leq x \leq 1 \\ x — 2, & \text{если } 1 < x < 5 \\ 8 — x, & \text{если } 5 \leq x \leq 7 \end{cases}$$

а) Вычислить:

$$f(40) = f(0 + 5 \cdot 8) = f(0 + 5T) = f(0) = \underbrace{-0}_{-x} = 0;$$ $$f(50) = f(2 + 6 \cdot 8) = f(2 + 6T) = f(2) = \underbrace{2 — 2}_{x-2} = 0;$$ $$f(-65) = f(-1 — 8 \cdot 8) = f(-1 — 8T) = f(-1) = \underbrace{-(-1)}_{-x} = 1;$$

Ответ: $0; 0; 1$.

б)

$$\begin{cases} f(x) = 0 \\ -10 \leq x \leq 10 \end{cases}$$

Решим уравнение на отрезке $[-1; 7]$:

$$-x = 0 \quad => \quad x = 0;$$ $$x — 2 = 0 \quad => \quad x = 2;$$ $$8 — x = 0 \quad => \quad x = 8;$$

$x_1 = 0 \text{ и } x_2 = 2;$

На предыдущем периоде $(x — 8)$:

$$x_1 = -8 \text{ и } x_2 = -6;$$

На следующем периоде $(x + 8)$:

$$x_1 = 8 \text{ и } x_2 = 10;$$

На искомом отрезке $(-10 \leq x \leq 10)$ имеем:

$$x_1 = -8; \, x_2 = -6; \, x_3 = 0; \, x_4 = 2; \, x_5 = 8; \, x_6 = 10;$$

Ответ: 6 решений.

Дана функция $f(x)$ с периодом $T = 8$:

$$f(x) = \begin{cases} -x, & \text{если } -1 \leq x \leq 1, \\ x — 2, & \text{если } 1 < x < 5, \\ 8 — x, & \text{если } 5 \leq x \leq 7. \end{cases}$$

а) Вычислить $f(40), f(50), f(-65)$

Для вычисления значений функции на заданных точках $x = 40$, $x = 50$ и $x = -65$ нужно учитывать периодичность функции с периодом $T = 8$. То есть для любого $x$ значения функции повторяются каждые 8 единиц.

Вычисление $f(40)$:

Определим эквивалент $x = 40$ на интервале от $-1$ до $7$, используя периодичность.

Период функции равен $T = 8$, следовательно:

$$40 = 0 + 5 \cdot 8,$$

где 0 — это начальная точка интервала $[-1, 1]$. То есть, $40$ эквивалентно $0$ на отрезке $[-1, 1]$, так как $40$ делится на 8 с остатком 0.

Теперь вычислим $f(40)$:

$$f(40) = f(0).$$

Для $0$ функция $f(x) = -x$, так как $0$ находится в интервале $[-1, 1]$.

$$f(0) = -0 = 0.$$

Ответ: $f(40) = 0$.

Вычисление $f(50)$:

Определим эквивалент $x = 50$ на интервале от $-1$ до $7$, используя периодичность.

$$50 = 2 + 6 \cdot 8,$$

то есть $50$ эквивалентно $2$ на интервале $[1, 5]$.

Теперь вычислим $f(50)$:

$$f(50) = f(2).$$

Для $x = 2$, функция $f(x) = x — 2$, так как $2$ находится в интервале $(1, 5)$.

$$f(2) = 2 — 2 = 0.$$

Ответ: $f(50) = 0$.

Вычисление $f(-65)$:

Определим эквивалент $x = -65$ на интервале от $-1$ до $7$, используя периодичность.

$$-65 = -1 — 8 \cdot 8,$$

то есть $-65$ эквивалентно $-1$ на интервале $[-1, 1]$.

Теперь вычислим $f(-65)$:

$$f(-65) = f(-1).$$

Для $x = -1$, функция $f(x) = -x$, так как $-1$ находится в интервале $[-1, 1]$.

$$f(-1) = -(-1) = 1.$$

Ответ: $f(-65) = 1$.

Ответ на пункт а):

$$f(40) = 0, \quad f(50) = 0, \quad f(-65) = 1.$$

б) Найти решения уравнения $f(x) = 0$ на интервале $[-10, 10]$

У нас есть функция с разными выражениями в зависимости от значения $x$. Нам нужно найти такие $x$, для которых $f(x) = 0$.

1) Решим уравнение $f(x) = 0$ на отрезке $[-1, 7]$:

• Для $f(x) = -x$ на отрезке $[-1, 1]$:

  Уравнение:

  $$-x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0.$$

• Для $f(x) = x — 2$ на отрезке $(1, 5)$:

  Уравнение:

  $$x — 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 2.$$

• Для $f(x) = 8 — x$ на отрезке $[5, 7]$:

  Уравнение:

  $$8 — x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 8.$$

На отрезке $[-1, 7]$ решения: $x_1 = 0$, $x_2 = 2$.

2) На предыдущем периоде $(x — 8)$:

Если сдвинуть точку $x = 0$ и $x = 2$ на предыдущий период (на 8 единиц влево), то получаем следующие решения:

• Для $x_1 = 0$:

  $$x_1 = -8.$$

• Для $x_2 = 2$:

  $$x_2 = -6.$$

3) На следующем периоде $(x + 8)$:

Если сдвинуть точку $x = 0$ и $x = 2$ на следующий период (на 8 единиц вправо), то получаем следующие решения:

• Для $x_1 = 0$:

  $$x_1 = 8.$$

• Для $x_2 = 2$:

  $$x_2 = 10.$$

4) Решения на интервале $[-10, 10]$:

Теперь, собрав все решения, мы получаем:

$$x_1 = -8, \quad x_2 = -6, \quad x_3 = 0, \quad x_4 = 2, \quad x_5 = 8, \quad x_6 = 10.$$

Итак, на интервале $[-10, 10]$ 6 решений.

Ответ на пункт б):

6 решений: $x_1 = -8, \, x_2 = -6, \, x_3 = 0, \, x_4 = 2, \, x_5 = 8, \, x_6 = 10$.

Итог:

1. Пункт а) $f(40) = 0$, $f(50) = 0$, $f(-65) = 1$.
2. Пункт б) 6 решений: $x_1 = -8, x_2 = -6, x_3 = 0, x_4 = 2, x_5 = 8, x_6 = 10$.