ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 9.5 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Пусть $y = f(x)$ — периодическая функция с периодом 3, определенная для всех действительных значений $x$, причем
$f(3) = 7$, $f(4) = 11$, $f(17) = 13$ и $f(0,1) = 0$. Вычислите:

а) $f(141)$; $f(-134)$; $f(332)$; $f(-8,9)$;

б) $f(17,3) — f(20,3)$; $f(32,(3)) — f(332,(3))$; $f(0,(1)) — f(-2,(8))$;

в) $f(10)$; $f(100)$; $f(111111)$;

г) $f(13,1) \cdot f(14,1) \cdot f(15,1) \cdot f(16,1)$;
$f(\underbrace{8888\ldots88}_{n}) \quad f(\underbrace{22222\ldots22}_{n})$.

Функция $y = f(x)$ — периодическая с периодом $T = 3$;
Известно, что $f(3) = 7$, $f(4) = 11$, $f(17) = 13$ и $f(0,1) = 0$;

а)

1. $f(141) = f(3 + 46 \cdot 3) = f(3 + 46T) = f(3) = 7$;
2. $f(-134) = f(4 — 46 \cdot 3) = f(4 — 46T) = f(4) = 11$;
3. $f(332) = f(17 + 105 \cdot 3) = f(17 + 105T) = f(17) = 13$;
4. $f(-8,9) = f(0,1 — 3 \cdot 3) = f(0,1 — 3T) = f(0,1) = 0$;

б)

1. $f(17,3) — f(20,3) = f(17,3) — f(17,3 + 3) =$
   $= f(17,3) — f(17,3 + T) = f(17,3) — f(17,3) = 0$;
2. $f(32,(3)) — f(332,(3)) = f(32,(3)) — f(32,(3) + 300) =$
   $= f(32,(3)) — f(32,(3) + 100T) = f(32,(3)) — f(32,(3)) = 0$;
3. $f(0,(1)) — f(-2,(8)) = f\left(\frac{1}{9}\right) — f\left(-2\frac{8}{9}\right) = f\left(\frac{1}{9}\right) — f\left(\frac{1}{9} — 3\right) =$
   $= f\left(\frac{1}{9}\right) — f\left(\frac{1}{9} — T\right) = f\left(\frac{1}{9}\right) — f\left(\frac{1}{9}\right) = 0$;

в)

1. $f(10) = f(4 + 2 \cdot 3) = f(4 + 2T) = f(4) = 11$;
2. $f(100) = f(4 + 32 \cdot 3) = f(4 + 32T) = f(4) = 11$;
3. $f(111111) = f(3 + 37036 \cdot 3) = f(3 + 37036T) = f(3) = 7$;

г)

1. $f(13,1) \cdot f(14,1) \cdot f(15,1) \cdot f(16,1) =$
   $= f(13,1) \cdot f(14,1) \cdot f(0,1 + 5 \cdot 3) \cdot f(16,1) =$
   $= f(13,1) \cdot f(14,1) \cdot f(0,1 + 5T) \cdot f(16,1) =$
   $= f(13,1) \cdot f(14,1) \cdot f(0,1) \cdot f(16,1) = 0$;
2. $f\left(\underbrace{8888 \ldots 88}_{n}\right) — f\left(\underbrace{2222 \ldots 22}_{n}\right) =$
   $= f\left(\underbrace{2222 \ldots 22}_{n} + \underbrace{6666 \ldots 66}_{n}\right) — f\left(\underbrace{2222 \ldots 22}_{n}\right) =$
   $= f\left(\underbrace{2222 \ldots 22}_{n} + \underbrace{3333 \ldots 33}_{n}T\right) — f\left(\underbrace{2222 \ldots 22}_{n}\right) = 0$

Задание основывается на свойстве периодических функций. В данном случае, функция $f(x)$ имеет период $T = 3$, что означает, что для любого $x$ выполнено равенство:

$$f(x + kT) = f(x),$$

где $k$ — целое число.

Известные значения функции:

• $f(3) = 7$
• $f(4) = 11$
• $f(17) = 13$
• $f(0,1) = 0$

Нам нужно решить несколько задач, используя эти данные и свойство периодичности функции.

а)

$f(141) = f(3 + 46 \cdot 3) = f(3 + 46T) = f(3) = 7$

• Дано, что $T = 3$.
• Мы ищем значение $f(141)$. Можно записать:

  $$141 = 3 + 46 \cdot 3.$$

  То есть, $141$ можно выразить как $3 + 46T$, где $T = 3$.

• Периодичность функции позволяет записать:

  $$f(141) = f(3 + 46T) = f(3).$$

• Нам дано, что $f(3) = 7$, следовательно:

  $$f(141) = 7.$$

$f(-134) = f(4 — 46 \cdot 3) = f(4 — 46T) = f(4) = 11$

• Нам нужно найти $f(-134)$. Мы можем записать:

  $$-134 = 4 — 46 \cdot 3.$$

  То есть $-134 = 4 — 46T$, где $T = 3$.

• Периодичность функции позволяет записать:

  $$f(-134) = f(4 — 46T) = f(4).$$

• Нам дано, что $f(4) = 11$, следовательно:

  $$f(-134) = 11.$$

$f(332) = f(17 + 105 \cdot 3) = f(17 + 105T) = f(17) = 13$

• Нам нужно найти $f(332)$. Мы можем записать:

  $$332 = 17 + 105 \cdot 3.$$

  То есть $332 = 17 + 105T$, где $T = 3$.

• Периодичность функции позволяет записать:

  $$f(332) = f(17 + 105T) = f(17).$$

• Нам дано, что $f(17) = 13$, следовательно:

  $$f(332) = 13.$$

$f(-8,9) = f(0,1 — 3 \cdot 3) = f(0,1 — 3T) = f(0,1) = 0$

• Нам нужно найти $f(-8,9)$. Мы можем записать:

  $$-8,9 = 0,1 — 3 \cdot 3.$$

  То есть $-8,9 = 0,1 — 3T$, где $T = 3$.

• Периодичность функции позволяет записать:

  $$f(-8,9) = f(0,1 — 3T) = f(0,1).$$

• Нам дано, что $f(0,1) = 0$, следовательно:

  $$f(-8,9) = 0.$$

б)

$f(17,3) — f(20,3) = f(17,3) — f(17,3 + 3) =$
$= f(17,3) — f(17,3 + T) = f(17,3) — f(17,3) = 0$;

• Нам нужно найти разницу $f(17,3) — f(20,3)$.
• Запишем:

  $$f(17,3) — f(20,3) = f(17,3) — f(17,3 + 3).$$

  Периодичность функции позволяет записать:

  $$f(17,3 + 3) = f(17,3 + T).$$

  Поэтому:

  $$f(17,3) — f(17,3 + T) = f(17,3) — f(17,3) = 0.$$

$f(32,(3)) — f(332,(3)) = f(32,(3)) — f(32,(3) + 300) =$
$= f(32,(3)) — f(32,(3) + 100T) = f(32,(3)) — f(32,(3)) = 0$;

• Нам нужно найти разницу $f(32,(3)) — f(332,(3))$.
• Запишем:

  $$f(32,(3)) — f(332,(3)) = f(32,(3)) — f(32,(3) + 300).$$

  Периодичность функции позволяет записать:

  $$f(32,(3) + 300) = f(32,(3) + 100T).$$

  Поэтому:

  $$f(32,(3)) — f(32,(3) + 100T) = f(32,(3)) — f(32,(3)) = 0.$$

$f(0,(1)) — f(-2,(8)) = f\left(\frac{1}{9}\right) — f\left(-2\frac{8}{9}\right) = f\left(\frac{1}{9}\right) — f\left(\frac{1}{9} — 3\right) =$
$= f\left(\frac{1}{9}\right) — f\left(\frac{1}{9} — T\right) = f\left(\frac{1}{9}\right) — f\left(\frac{1}{9}\right) = 0$;

• Нам нужно найти разницу $f(0,(1)) — f(-2,(8))$.
• Запишем:

  $$f(0,(1)) — f(-2,(8)) = f\left(\frac{1}{9}\right) — f\left(-2\frac{8}{9}\right).$$

  Периодичность функции позволяет записать:

  $$f\left(-2\frac{8}{9}\right) = f\left(\frac{1}{9} — 3\right) = f\left(\frac{1}{9} — T\right).$$

  Поэтому:

  $$f\left(\frac{1}{9}\right) — f\left(\frac{1}{9} — T\right) = f\left(\frac{1}{9}\right) — f\left(\frac{1}{9}\right) = 0.$$

в)

$f(10) = f(4 + 2 \cdot 3) = f(4 + 2T) = f(4) = 11$;

• Нам нужно найти $f(10)$. Запишем:

  $$10 = 4 + 2 \cdot 3,$$

  то есть $10 = 4 + 2T$, где $T = 3$.

• Периодичность функции позволяет записать:

  $$f(10) = f(4 + 2T) = f(4).$$

• Нам дано, что $f(4) = 11$, следовательно:

  $$f(10) = 11.$$

$f(100) = f(4 + 32 \cdot 3) = f(4 + 32T) = f(4) = 11$;

• Нам нужно найти $f(100)$. Запишем:

  $$100 = 4 + 32 \cdot 3,$$

  то есть $100 = 4 + 32T$, где $T = 3$.

• Периодичность функции позволяет записать:

  $$f(100) = f(4 + 32T) = f(4).$$

• Нам дано, что $f(4) = 11$, следовательно:

  $$f(100) = 11.$$

$f(111111) = f(3 + 37036 \cdot 3) = f(3 + 37036T) = f(3) = 7$;

• Нам нужно найти $f(111111)$. Запишем:

  $$111111 = 3 + 37036 \cdot 3,$$

  то есть $111111 = 3 + 37036T$, где $T = 3$.

• Периодичность функции позволяет записать:

  $$f(111111) = f(3 + 37036T) = f(3).$$

• Нам дано, что $f(3) = 7$, следовательно:

  $$f(111111) = 7.$$

г)

$f(13,1) \cdot f(14,1) \cdot f(15,1) \cdot f(16,1) =$
$= f(13,1) \cdot f(14,1) \cdot f(0,1 + 5 \cdot 3) \cdot f(16,1) =$
$= f(13,1) \cdot f(14,1) \cdot f(0,1 + 5T) \cdot f(16,1) =$
$= f(13,1) \cdot f(14,1) \cdot f(0,1) \cdot f(16,1) = 0$;

• Поскольку $f(0,1) = 0$, результат умножения будет равен нулю, независимо от значений других $f(x)$.

$f\left(\underbrace{8888 \ldots 88}_{n}\right) — f\left(\underbrace{2222 \ldots 22}_{n}\right) =$
$= f\left(\underbrace{2222 \ldots 22}_{n} + \underbrace{6666 \ldots 66}_{n}\right) — f\left(\underbrace{2222 \ldots 22}_{n}\right) =$
$= f\left(\underbrace{2222 \ldots 22}_{n} + \underbrace{3333 \ldots 33}_{n}T\right) — f\left(\underbrace{2222 \ldots 22}_{n}\right) = 0$;

• Периодичность функции дает нам тот же результат, так как оба значения $f(x)$ одинаковы по периоду.