ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 98 Повторение Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найти наибольшее и наименьшее значения функции:

а) $y=\sqrt{x}$ на луче $[4;+\mathrm{\infty })$;

1. Абсцисса вершины ветви параболы:
   $x=0$;
2. Значения функции:
   $y(4)=\sqrt{4}=2$;
   $a=1>0$ — функция возрастает;

Ответ: $y_{\text{min}}=2$; $y_{\text{max}}$ — нет.

б) $y=-\sqrt{x+2}$ на отрезке $[0;3]$;

1. Абсцисса вершины ветви параболы:
   $x+2=0$, отсюда $x=-2$;
2. Значения функции:
   $y(0)=-\sqrt{0+2}=-\sqrt{2}$;
   $y(3)=-\sqrt{3+2}=-\sqrt{5}$;

Ответ: $y_{\text{min}}=-\sqrt{5}$; $y_{\text{max}}=-\sqrt{2}$.

в) $y=-\sqrt{x}+4$ на полуинтервале $(0;4]$;

1. Абсцисса вершины ветви параболы:
   $x=0$;
2. Значения функции:
   $y(4)=-\sqrt{4}+4=-2+4=2$;
   $a=-1<0$ — функция убывает;

Ответ: $y_{\text{min}}=2$; $y_{\text{max}}$ — нет.

г) $y=\sqrt{x-3}+1$ на отрезке $[6;9]$;

1. Абсцисса вершины ветви параболы:
   $x-3=0$, отсюда $x=3$;
2. Значения функции:
   $y(6)=\sqrt{6-3}+1=\sqrt{3}+1$;
   $y(9)=\sqrt{9-3}+1=\sqrt{6}+1$;

Ответ: $y_{\text{min}}=\sqrt{3}+1$; $y_{\text{max}}=\sqrt{6}+1$.

а) $y=\sqrt{x}$ на луче $[4;+\mathrm{\infty })$

1) Абсцисса вершины ветви параболы:

Для функции $y=\sqrt{x}$ график представляет собой ветвь параболы, открывающуюся вправо. Функция определена на интервале $[0;+\mathrm{\infty })$, и её вершина (минимум) находится в точке $x=0$, однако нам нужно рассматривать функцию на интервале $[4;+\mathrm{\infty })$.

Важно помнить, что:

• Вершина параболы $y=\sqrt{x}$ — это точка $(0,0)$, так как $\sqrt{0}=0$.
• Однако на интервале $[4;+\mathrm{\infty })$ минимум функции будет на $x=4$.

2) Значения функции:

Нам нужно вычислить значения функции в важной точке $x=4$ и проанализировать поведение функции на этом интервале:

• Для $x=4$:

$$y(4)=\sqrt{4}=2$$

Поскольку функция $y=\sqrt{x}$ возрастает (для всех $x\ge 0$), на интервале $[4;+\mathrm{\infty })$ минимальное значение будет в точке $x=4$, а максимальное значение будет стремиться к бесконечности при $x\to +\mathrm{\infty }$.

3) Наибольшее и наименьшее значения:

• Наименьшее значение функции $y_{\min }=2$ в точке $x=4$.
• Наибольшее значение функции на этом интервале стремится к бесконечности, так как ${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}\sqrt{x}=+\mathrm{\infty }$.

Ответ: $y_{\min }=2$; $y_{\max }$ — нет.

б) $y=-\sqrt{x+2}$ на отрезке $[0;3]$

1) Абсцисса вершины ветви параболы:

График функции $y=-\sqrt{x+2}$ — это ветвь параболы, открывающаяся вниз. Чтобы найти вершину, решим уравнение, при котором выражение внутри корня $x+2=0$.

$$x+2=0\Rightarrow x=-2.$$

Вершина этой ветви параболы находится при $x=-2$, однако на отрезке $[0;3]$ нам нужно вычислить значения функции в пределах этого интервала.

2) Значения функции:

Вычислим значения функции на концах отрезка $[0;3]$:

• Для $x=0$:

$$y(0)=-\sqrt{0+2}=-\sqrt{2}$$

• Для $x=3$:

$$y(3)=-\sqrt{3+2}=-\sqrt{5}$$

Поскольку коэффициент при корне отрицательный $a=-1$, функция убывает на интервале $[0;3]$. Таким образом, наименьшее значение функции будет на правом конце отрезка, а наибольшее — на левом.

3) Наибольшее и наименьшее значения:

• Наибольшее значение функции $y_{\max }=-\sqrt{2}$, которое достигается в точке $x=0$.
• Наименьшее значение функции $y_{\min }=-\sqrt{5}$, которое достигается в точке $x=3$.

Ответ: $y_{\min }=-\sqrt{5}$; $y_{\max }=-\sqrt{2}$.

в) $y=-\sqrt{x}+4$ на полуинтервале $(0;4]$

1) Абсцисса вершины ветви параболы:

График функции $y=-\sqrt{x}+4$ представляет собой ветвь параболы, открывающуюся вниз. Вершина параболы будет в точке $x=0$, так как это минимальная точка для функции $\sqrt{x}$, но на интервале $(0;4]$ нам нужно рассматривать значения функции в точке $x=4$.

2) Значения функции:

Вычислим значение функции на правом конце интервала $x=4$, так как функция убывает:

• Для $x=4$:

$$y(4)=-\sqrt{4}+4=-2+4=2$$

Поскольку функция $y=-\sqrt{x}+4$ убывает на интервале $(0;4]$, наименьшее значение будет при $x=0$, а максимальное — при $x=4$.

3) Наибольшее и наименьшее значения:

• Наименьшее значение функции $y_{\min }=2$, которое достигается в точке $x=4$.
• Наибольшее значение функции стремится к бесконечности, так как ${\lim }_{x\to 0^{+}}-\sqrt{x}+4=+\mathrm{\infty }$.

Ответ: $y_{\min }=2$; $y_{\max }$ — нет.

г) $y=\sqrt{x-3}+1$ на отрезке $[6;9]$

1) Абсцисса вершины ветви параболы:

График функции $y=\sqrt{x-3}+1$ представляет собой ветвь параболы, открывающуюся вправо. Вершина этой параболы будет в точке $x=3$, так как это минимальная точка для $\sqrt{x-3}$, но на отрезке $[6;9]$ нам нужно рассматривать значения функции в пределах этого интервала.

2) Значения функции:

Вычислим значения функции на концах отрезка $[6;9]$:

• Для $x=6$:

$$y(6)=\sqrt{6-3}+1=\sqrt{3}+1$$

• Для $x=9$:

$$y(9)=\sqrt{9-3}+1=\sqrt{6}+1$$

Поскольку функция $y=\sqrt{x-3}+1$ возрастает (так как $\sqrt{x-3}$ возрастает), наименьшее значение будет при $x=6$, а наибольшее — при $x=9$.

3) Наибольшее и наименьшее значения:

• Наименьшее значение функции $y_{\min }=\sqrt{3}+1$, которое достигается в точке $x=6$.
• Наибольшее значение функции $y_{\max }=\sqrt{6}+1$, которое достигается в точке $x=9$.

Ответ: $y_{\min }=\sqrt{3}+1$; $y_{\max }=\sqrt{6}+1$.

Итоговый ответ:

а) $y_{\min }=2$; $y_{\max }$ — нет.

б) $y_{\min }=-\sqrt{5}$; $y_{\max }=-\sqrt{2}$.

в) $y_{\min }=2$; $y_{\max }$ — нет.

г) $y_{\min }=\sqrt{3}+1$; $y_{\max }=\sqrt{6}+1$.