ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 99 Повторение Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите графически систему уравнений:

а)

$$\{\begin{array}{l}y=x^2-6x+5\\ y=\sqrt{x-3}-4\end{array}$$

б)

$$\{\begin{array}{l}y=-\sqrt{x+1}-1\\ y={\displaystyle \frac{2}{x-1}}\end{array}$$

а)

$$\{\begin{array}{l}y=x^2-6x+5\\ y=\sqrt{x-3}-4\end{array}$$

$y=x^2-6x+5$ — уравнение параболы:
$x_0=-{\displaystyle \frac{-6}{2\cdot 1}}=3$ и $y_0=-4$;

$y=\sqrt{x-3}-4$ — уравнение ветви параболы:
$x_0=3$ и $y_0=-4$;

Графики функций:

Ответ: $(3;-4);(4;-3)$.

б)

$$\{\begin{array}{l}y=-\sqrt{x+1}-1\\ y={\displaystyle \frac{2}{x-1}}\end{array}$$

$y=-\sqrt{x+1}-1$ — уравнение ветви параболы:
$x_0=-1$ и $y_0=-1$;

$y={\displaystyle \frac{2}{x-1}}$ — уравнение гиперболы:
$x_0=1$ и $y_0=0$;

Графики функций:

Ответ: $(-1;-1);(0;-2)$.

а) $y=x^2-6x+5$ и $y=\sqrt{x-3}-4$

Мы рассматриваем систему из двух функций — параболы и ветви параболы.

1) $y=x^2-6x+5$ — уравнение параболы

a) Вершина параболы:

Для параболы в форме $y=a{x}^2+bx+c$ вершина находится по формуле:

$$x_0=-\frac{b}{2a}$$

Подставляем коэффициенты $a=1$ и $b=-6$:

$$x_0=-\frac{-6}{2\cdot 1}=\frac{6}{2}=3$$

Теперь находим значение функции в этой точке:

$$y_0=3^2-6(3)+5=9-18+5=-4$$

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(3,-4)$.

b) Значения функции:

Вычислим значения функции $y=x^2-6x+5$ для различных значений $x$:

• Для $x=0$:$$y(0)=0^2-6(0)+5=5$$
• Для $x=1$:$$y(1)=1^2-6(1)+5=1-6+5=0$$
• Для $x=2$:$$y(2)=2^2-6(2)+5=4-12+5=-3$$
• Для $x=4$:$$y(4)=4^2-6(4)+5=16-24+5=-3$$
• Для $x=5$:$$y(5)=5^2-6(5)+5=25-30+5=0$$
• Для $x=6$:$$y(6)=6^2-6(6)+5=36-36+5=5$$

Ответ: Мы видим, что на интервале от $x=0$ до $x=6$ функция $y=x^2-6x+5$ принимает значения от -5 до 5, причем наименьшее значение на данном интервале будет $y_{\min }=-5$ в точке $x=3$, а максимальное значение функции будет на правом конце отрезка $y_{\max }=5$.

2) $y=\sqrt{x-3}-4$ — уравнение ветви параболы

a) Вершина ветви параболы:

Вершина параболы для функции $y=\sqrt{x-3}-4$ находится в точке $x_0=3$, так как это минимальное значение функции $\sqrt{x-3}$, когда выражение под корнем становится равно 0.

Для $x_0=3$ подставляем в уравнение функции:

$$y_0=\sqrt{3-3}-4=0-4=-4$$

Таким образом, вершина ветви параболы находится в точке $(3,-4)$.

b) Значения функции:

Вычислим значения функции для различных значений $x$, начиная с $x=4$, так как функция $\sqrt{x-3}-4$ определена только для $x\ge 3$:

• Для $x=4$:$$y(4)=\sqrt{4-3}-4=\sqrt{1}-4=1-4=-3$$
• Для $x=7$:$$y(7)=\sqrt{7-3}-4=\sqrt{4}-4=2-4=-2$$
• Для $x=12$:$$y(12)=\sqrt{12-3}-4=\sqrt{9}-4=3-4=-1$$

Ответ: Мы видим, что функция убывает на интервале от $x=4$ до $x=12$. Минимальное значение функции будет при $x=4$, а максимальное значение функции будет при $x=12$.

3) Графики функций

Ответ: Точки пересечения графиков функций: $(3;-4)$, $(4;-3)$.

б) $y=-\sqrt{x+1}-1$ и $y={\displaystyle \frac{2}{x-1}}$

1) $y=-\sqrt{x+1}-1$ — уравнение ветви параболы

a) Вершина ветви параболы:

Для функции $y=-\sqrt{x+1}-1$ вершина будет в точке $x=-1$, так как это минимальное значение для выражения $\sqrt{x+1}$.

При $x_0=-1$:

$$y_0=-\sqrt{-1+1}-1=-\sqrt{0}-1=-1$$

Таким образом, вершина ветви параболы находится в точке $(-1,-1)$.

b) Значения функции:

Вычислим значения функции на отрезке $[-1,8]$:

• Для $x=0$:$$y(0)=-\sqrt{0+1}-1=-1-1=-2$$
• Для $x=3$:$$y(3)=-\sqrt{3+1}-1=-\sqrt{4}-1=-2-1=-3$$
• Для $x=8$:$$y(8)=-\sqrt{8+1}-1=-\sqrt{9}-1=-3-1=-4$$

Ответ: Минимальное значение функции будет в точке $(-1,-1)$, а максимальное — в точке $x=0$, где $y_{\max }=-2$.

2) $y={\displaystyle \frac{2}{x-1}}$ — уравнение гиперболы

a) Асимптоты гиперболы:

График функции $y={\displaystyle \frac{2}{x-1}}$ имеет вертикальную асимптоту $x=1$ и горизонтальную асимптоту $y=0$.

b) Значения функции:

Вычислим значения функции для различных значений $x$:

• Для $x=-1$:$$y(-1)=\frac{2}{-1-1}=\frac{2}{-2}=-1$$
• Для $x=0$:$$y(0)=\frac{2}{0-1}=\frac{2}{-1}=-2$$
• Для $x=2$:$$y(2)=\frac{2}{2-1}=\frac{2}{1}=2$$
• Для $x=3$:$$y(3)=\frac{2}{3-1}=\frac{2}{2}=1$$

Ответ: График функции гиперболы будет стремиться к бесконечности на разрыве, так как у нас вертикальная асимптота $x=1$.

3) Графики функций

Ответ: Точки пересечения графиков функций: $(-1;-1)$, $(0;-2)$.

Итоговый ответ:

а) Точки пересечения: $(3;-4)$, $(4;-3)$.

б) Точки пересечения: $(-1;-1)$, $(0;-2)$.