ГДЗ по Алгебре 7 Класс Глава 1 Вопросы Мордкович — Подробные Ответы

№ 1.
Алгебраическое выражение — это выражение, составленное из чисел, букв (переменных) и знаков арифметических действий.

№ 2.
Допустимые значения переменных — это такие значения, при которых алгебраическое выражение имеет смысл и можно вычислить его числовое значение.
Недопустимые значения — это те значения переменных, при которых выражение теряет смысл (например, деление на ноль).

№ 3.
Под степенью \(a^{n}\), где \(n = 2, 3, 4, 5, \ldots\), понимают произведение \(n\) одинаковых множителей, каждый из которых равен \(a\).
Число \(a\) называют основанием степени, число \(n\) — показателем степени, а всё выражение \(a^{n}\) — степенью.

№ 4.
Свойства степеней с натуральными показателями:
1) \(a^{n} \cdot a^{k} = a^{n + k}\);
2) \(a^{n} : a^{k} = a^{n — k}\) (при \(a \ne 0\) и \(n > k\));
3) \((a^{n})^{k} = a^{nk}\);
4) \(a^{n} \cdot b^{n} = (ab)^{n}\);
5) \(\frac{a^{n}}{b^{n}} = \left( \frac{a}{b} \right)^{n}\) (при \(b \ne 0\)).

№ 5.
Этапы математического моделирования:
1) Составление математической модели (перевод условия задачи на язык математики);
2) Работа с математической моделью (решение уравнения, упрощение выражения и т.п.);
3) Интерпретация результата — формулировка ответа на вопрос задачи в терминах исходной ситуации.

№ 6.
Уравнение вида \(ax + b = 0\) называют линейным уравнением с одной переменной \(x\), где \(a\) и \(b\) — произвольные числа.

№ 7.
Корнем уравнения называют такое значение переменной, при котором уравнение превращается в верное числовое равенство. Решить уравнение — значит найти все его корни или установить, что их нет.

№ 8.
Алгоритм решения уравнения вида \(ax + b = 0\) при \(a \ne 0\):
1) Перенести свободный член в правую часть: \(ax = -b\);
2) Найти корень: \(x = -\frac{b}{a}\).

№ 9.
Алгебраический способ решения уравнения \(ax + b = cx + d\), где \(a \ne c\):
1) Перенести все члены с переменной в левую часть, а свободные — в правую: \(ax — cx = d — b\);
2) Привести подобные: \(kx = m\) (где \(k = a — c\), \(m = d — b\));
3) Найти корень: \(x = \frac{m}{k}\).

№ 10.
Уравнение вида \(ax = b\):
а) имеет единственный корень, если \(a \ne 0\);
б) не имеет решений, если \(a = 0\) и \(b \ne 0\);
в) имеет бесконечно много решений, если \(a = 0\) и \(b = 0\).

№ 11.
Координатная прямая — это прямая, на которой заданы: начало отсчёта (точка \(0\)), направление (обычно вправо) и единичный отрезок для измерения расстояний.

№ 12.
Расстояние между двумя точками с координатами \(a\) и \(b\) на координатной прямой вычисляется по формуле:
\[
\rho(a; b) = |a — b|
\]

№ 13.
Основные виды числовых промежутков на координатной прямой:
— открытый луч;
— луч;
— интервал;
— полуинтервал;
— отрезок.

№ 14.
Открытый луч \((a; +\infty)\) или \((-\infty; a)\):
— на координатной прямой изображается светлым (незакрашенным) кружком в точке \(a\);
— в аналитической записи задаётся строгим неравенством: \(x > a\) или \(x < a\).

Луч \([a; +\infty)\) или \((-\infty; a]\):
— на координатной прямой изображается закрашенным кружком в точке \(a\);
— в аналитической записи задаётся нестрогим неравенством: \(x \ge a\) или \(x \le a\).

№ 15.
Отрезок \([a; b]\):
— на координатной прямой обозначается закрашенными кружками в точках \(a\) и \(b\);
— в аналитической форме описывается двойным нестрогим неравенством: \(a \le x \le b\).

Интервал \((a; b)\):
— на координатной прямой изображается светлыми кружками в точках \(a\) и \(b\);
— в аналитической форме задаётся двойным строгим неравенством: \(a < x < b\).

Полуинтервал \([a; b)\) или \((a; b]\):
— на координатной прямой один конец обозначается закрашенным кружком (включён), другой — светлым (не включён);
— в аналитической записи соответствует комбинации нестрогого и строгого неравенств:
\(a \le x < b\) или \(a < x \le b\).

№ 1.
Алгебраическое выражение — это выражение, составленное из чисел, букв (переменных), а также знаков арифметических действий: сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень. В нём могут также присутствовать скобки для указания порядка действий. Примеры: \(3x + 5\), \(a^2 — b\), \(\frac{2x — 1}{x + 3}\).

№ 2.
Допустимыми значениями переменных называют такие числовые значения, при подстановке которых алгебраическое выражение имеет смысл и можно вычислить его численное значение. Например, в выражении \(\frac{1}{x — 2}\) допустимыми будут все числа, кроме \(x = 2\).
Недопустимыми значениями переменных называют те, при которых выражение теряет смысл — например, когда происходит деление на ноль, извлечение корня чётной степени из отрицательного числа (в рамках действительных чисел) или другие запрещённые операции.

№ 3.
Под степенью \(a^{n}\), где \(n = 2, 3, 4, 5, \ldots\), подразумевают произведение \(n\) одинаковых множителей, каждый из которых равен \(a\). То есть:
\[
a^{n} = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n\ \text{раз}}.
\]

В записи \(a^{n}\) число \(a\) называют основанием степени, а число \(n\) — показателем степени. Степень является краткой записью многократного умножения одинаковых чисел.

№ 4.
Свойства степеней с натуральными показателями позволяют упрощать выражения и выполнять вычисления без прямого перемножения. Основные свойства:

1) При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются:
\[
a^{n} \cdot a^{k} = a^{n + k}
\]

2) При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели вычитаются (при \(n > k\)):
\[
a^{n} : a^{k} = a^{n — k}
\]

3) При возведении степени в степень показатели перемножаются:
\[
(a^{n})^{k} = a^{n \cdot k}
\]

4) При умножении степеней с одинаковыми показателями основания перемножаются:
\[
a^{n} \cdot b^{n} = (ab)^{n}
\]

5) При делении степеней с одинаковыми показателями основания делятся:
\[
\frac{a^{n}}{b^{n}} = \left( \frac{a}{b} \right)^{n}, \quad b \ne 0
\]

Эти свойства справедливы при положительных основаниях и натуральных (целых положительных) показателях, а также с определёнными оговорками — и в более общих случаях.

№ 5.
Решение текстовых задач методом математического моделирования проводится в три последовательных этапа:

Первый этап — составление математической модели.
На этом шаге анализируют условие задачи, вводят переменные, описывают связи между величинами с помощью уравнений, неравенств или других математических конструкций. Цель — перевести словесную формулировку на язык математики.

Второй этап — работа с составленной математической моделью.
Здесь выполняют алгебраические преобразования: решают уравнение, упрощают выражение, строят график и т.д., чтобы найти решение в рамках модели.

Третий этап — интерпретация результата.
Полученное математическое решение возвращают в контекст исходной задачи и формулируют ответ на поставленный вопрос, проверяя его смысл и соответствие реальной ситуации.

№ 6.
Уравнение вида \(ax + b = 0\) называют линейным уравнением с одной переменной \(x\). В этом уравнении \(a\) и \(b\) — произвольные действительные числа (они могут быть положительными, отрицательными или равными нулю). Переменная \(x\) входит в уравнение только в первой степени, и других переменных в уравнении нет.

№ 7.
Корнем уравнения называют такое значение переменной, при подстановке которого в уравнение оно обращается в верное числовое равенство. Например, число \(2\) является корнем уравнения \(3x — 6 = 0\), так как \(3 \cdot 2 — 6 = 0\) — верное равенство.
Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что корней нет (то есть уравнение не имеет решений).

№ 8.
Алгоритм решения линейного уравнения вида \(ax + b = 0\), при условии, что \(a \ne 0\):
1) Перенести свободный член \(b\) в правую часть уравнения, изменив его знак на противоположный:
\[
ax = -b;
\]

2) Разделить обе части уравнения на коэффициент при переменной \(a\), чтобы выразить \(x\):
\[
x = -\frac{b}{a}.
\]

Полученное значение и есть единственный корень уравнения.

№ 9.
Алгебраический способ решения уравнения вида \(ax + b = cx + d\), где \(a \ne c\):
1) Перенести все слагаемые, содержащие переменную \(x\), в левую часть уравнения, а все числовые слагаемые — в правую часть, меняя знаки при переносе:
\[
ax — cx = d — b;
\]

2) Привести подобные слагаемые в обеих частях. Обозначим разность коэффициентов как \(k = a — c\), а разность свободных членов как \(m = d — b\). Тогда уравнение примет вид:
\[
kx = m;
\]

3) Так как по условию \(a \ne c\), то \(k \ne 0\), и можно найти корень:

\[
x = \frac{m}{k} = \frac{d — b}{a — c}.
\]
Это уравнение имеет единственное решение.

№ 10.
Рассмотрим уравнение вида \(ax = b\). Возможны три случая:
а) Если \(a \ne 0\), то уравнение имеет единственный корень: \(x = \frac{b}{a}\);
б) Если \(a = 0\) и \(b \ne 0\), то уравнение принимает вид \(0 \cdot x = b\), то есть \(0 = b\), что невозможно. В этом случае уравнение не имеет решений;
в) Если \(a = 0\) и \(b = 0\), то уравнение превращается в тождество \(0 = 0\), которое верно при любом значении \(x\). Следовательно, уравнение имеет бесконечно много решений.

№ 11.
Координатная прямая — это прямая линия, на которой выбраны три основных элемента:
— начало отсчёта — точка, соответствующая числу \(0\);
— положительное направление — обычно обозначается стрелкой вправо;
— единичный отрезок — отрезок, длина которого принимается за 1 и служит масштабом для измерения расстояний.
Каждому действительному числу на координатной прямой соответствует единственная точка, и наоборот.

№ 12.
Расстояние между двумя точками на координатной прямой не зависит от их порядка и всегда является неотрицательным числом. Если точки имеют координаты \(a\) и \(b\), то расстояние между ними обозначают \(\rho(a; b)\) и вычисляют по формуле:
\[
\rho(a; b) = |a — b|.
\]

Модуль разности координат показывает, на сколько единичных отрезков точки удалены друг от друга.

№ 13.
На координатной прямой различные множества точек обозначаются с помощью числовых промежутков. В зависимости от того, включают ли границы промежутка в само множество, выделяют пять основных типов:

— Открытый луч — бесконечный промежуток, не содержащий свою конечную точку;
— Луч (или замкнутый луч) — бесконечный промежуток, содержащий свою конечную точку;
— Интервал — конечный промежуток, не содержащий ни одной из своих границ;
— Полуинтервал — конечный промежуток, содержащий одну из границ и не содержащий другую;
— Отрезок — конечный промежуток, содержащий обе границы.

Эти промежутки используются для описания решений неравенств, областей определения функций и других множеств в математике.

№ 14.

Открытый луч записывается как \((a; +\infty)\) или \((-\infty; a)\).
— Геометрически (на координатной прямой) он изображается как сплошной луч, начинающийся у точки \(a\), причём сама точка \(a\) отмечена светлым (незакрашенным) кружком, что означает её непринадлежность множеству.
— Аналитически (с помощью неравенств) такой промежуток описывается строгими неравенствами:

\[
x > a \quad \text{или} \quad x < a.
\]

Луч записывается как \([a; +\infty)\) или \((-\infty; a]\).
— Геометрически точка \(a\) обозначается закрашенным кружком, что указывает на её включение в промежуток.
— Аналитически луч описывается нестрогими неравенствами:
\[
x \geq a \quad \text{или} \quad x \leq a.
\]

Эти два типа промежутков являются бесконечными, так как простираются до \(+\infty\) или \(-\infty\).

№ 15.

Отрезок \([a; b]\):
— Геометрически: обе точки \(a\) и \(b\) отмечены закрашенными кружками, и между ними проведена сплошная линия. Это означает, что обе конечные точки входят в множество.
— Аналитически: отрезок описывается двойным нестрогим неравенством:
\[
a \leq x \leq b.
\]

Интервал \((a; b)\):
— Геометрически: точки \(a\) и \(b\) изображены светлыми кружками, что означает, что ни одна из них не входит в множество.
— Аналитически: интервал задаётся двойным строгим неравенством:
\[
a < x < b.
\]

Полуинтервал может иметь две формы: \([a; b)\) или \((a; b]\).
— Геометрически: один конец промежутка обозначен закрашенным кружком (входит в промежуток), другой — светлым (не входит).
— В \([a; b)\): точка \(a\) — закрашена, \(b\) — светлая;
— В \((a; b]\): точка \(a\) — светлая, \(b\) — закрашена.
— Аналитически: полуинтервал описывается комбинацией строгого и нестрогого неравенств:
\[
a \leq x < b \quad \text{или} \quad a < x \leq b.
\]

Таким образом, каждый тип числового промежутка имеет три эквивалентных представления:
1) словесное название;
2) геометрическое изображение на координатной прямой;
3) аналитическую запись в виде неравенства.

Эти три формы позволяют точно и однозначно описывать любые подмножества действительных чисел, возникающие в алгебре и анализе.